Πλένουμε το ρύζι και το βάζουμε σε ένα μπολ με νερό, συνεχίζουμε βάζουμε τον κιμά σε άλλο μπολ το λάδι αλάτι και πιπέρι. Στραγγίζουμε το ρύζι το προσθέτουμε στον κιμά ζυμώνουμε και τον βάζουμε στο ψυγείο.
Κόβουμε μικρά καρέ τα καρότα, την πατάτα και το κρεμμύδι, βάζουμε το λάδι και το βούτυρο σε φαρδιά κατσαρόλα και σοτάρουμε τα λαχανικά. Προσθέτουμε το νερό, το αλάτι και το πιπέρι και αφήνουμε να βράσει.
Πλάθουμε τα γιουβαρλάκια τα αλευρώνουμε ελαφρά και τα ρίχνουμε στην κατσαρόλα, χαμηλώνουμε την φωτιά και μαγειρεύουμε σε μέτρια φωτιά για 20 λεπτά.
Προσθέτουμε 3 κουταλιές ρύζι και συνεχίζουμε το βράσιμο για 10-12 λεπτά.
Μόλις βράσει η σούπα ετοιμάζουμε το αυγολέμονο, χτυπάμε τους κρόκους με χυμό λεμονιού και προσθέτουμε λίγο - λίγο ζεστό ζωμό από την σούπα, συνεχίζοντας το ανακάτεμα.
Κατεβάζουμε από την φωτιά την κατσαρόλα να σταματήσει ο βρασμός και ρίχνουμε με προσοχή το αυγολέμονο, δεν ανακατεύουμε απλά την κουνάμε.
Σερβίρουμε με χυμό και ξύσμα λεμονιού, φρεσκοτριμμένο πιπέρι και ψωμί χωρίς ζύμωμα.